На сколько лет планируется взять кредит

Задание 17. Кредит в банке.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Решать эту задачу можно по разному, я покажу крутой способ.

Итак, пусть долг выплачивается ​ ( n ) ​ количество лет, чтобы сумма долга уменьшалась на одну и ту же величину, основной платеж должен быть равен ​ ( frac ) ​ — это будет в каждом году.

Заполним такую таблицу:

По условию, сумма платежей должна быть равной 38 млн. То есть нам нужно найти сумму арифметической прогрессии, сделаем это по формуле ​ ( S_=frac+a_>*n ) ​

В первом году, весь платеж будет равен ​ ( frac+frac=frac ) ​ — это первой член нашей арифметической прогрессии

Второй член арифметической прогрессии равен ​ ( frac+frac ) ​

http://gdz-larin.ru/?p=1174

На сколько лет планируется взять кредит

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей?

В январе долг стал равен 16*1,25 = 20 млн. руб.

Пусть X (млн. руб.) — составил 1 платеж.

Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (20-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 16 — (20-X) = (X-4) млн. руб.

Пусть кредит был взят на n лет.

Тогда в n-ый год в январе долг будет равен

((16 — (n-1)cdot(X-4))cdot1,25 ) млн. руб.

В июле n-го года долг равен 16-n(X-4).

А выплату в n году можно посчитать по формуле:

В 1 год платеж был равен X млн. руб.

((16 — X+4)cdot 1,25 — 16 + 2X-8 = 1+0,75X.)

((16 — 2X+8)cdot 1,25 — 16+3 cdot(X-4) = 2+0,5X.)

Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна

а первый член прогрессии равен X.

Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравение:

Откуда получаем, что

Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):

$$16cdot (2X(X-4)+(1-0,25X)cdot 16 -(1-0,25X)cdot (X-4)) = 80 cdot (X-4)^2, $$

$$2x^2 — 8X+16-4X-X+4+0,25X^2-X = 5 cdot (X^2 — 8X+16),$$

$$2,25X^2-14X+20 = 5cdot (X^2 — 8X+16), $$

$$9X^2-56X+80 = 20 X^2 — 160 X+320, $$

Пусть X = 60/11. Тогда n = 16:16*11 = 11.

Если X = 4, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0.

Получаем, что кредит был взят на 11 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не более 350000 рублей?

Если нужно найти минимальное количество лет, на которые нужно взять кредит, то выплаты должны быть максимальными, т.е. в условиях нашей задачи составлять 350 000 рублей в год.

В январе долг станет равным 1 300 000* 1,1 = 1 430 000 рублей.

После 1 платежа в июле сумма долга составит 1 430 000 — 350 000 = 1 080 000 рублей.

В январе долг станет равным 1 080 000*1,1 = 1 188 000 рублей.

После 2 платежа в июле сумма долга составит 1 188 000 — 350 000 = 838 000 рублей.

Январь: 838 000*1,1 = 921 800.

После 3 платежа в июле: 921 800 — 350 000 = 571 800.

Январь: 571 800*1,1 = 628 980.

После 4 платежа: 628 980 — 350 000 = 278 980.

Январь: 278 980*1,1 = 306 878.

5 платеж будет последним и составит 306 878 рублей.

Получили, что кредит можно взять минимум на 5 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

Зависимость объема Q (в шт) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000-P, 1000≤P≤15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.

Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Доход можно вычислить по формуле:

Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.

Читайте так же:  Рефинансирование потребительских кредитов заявка онлайн

Обозначим прибыль через R. Тогда R вычисляется по формуле:

$$R = PQ — (3000Q+5000000) = P(15000-P) — (3000(15000-P)+5000000),$$

$$R = 15000P — P^2 — 45 000 000 + 3000P — 5 000 000,$$

$$R = -P^2 + 18000P — 50 000 000.$$

После снижения цены на 20% цена стала равна 0,8P. Соответственно прибыль будет вычисляться по формуле:

$$R = -(0,8P)^2 + 18000cdot 0,8P — 50 000 000.$$

$$R = -0,64P^2+14400P — 50 000 000.$$

Так как прибыль не изменилась, то получаем уравнение:

$$-P^2 + 18000P — 50 000 000 = -0,64P^2+14400P — 50 000 000,$$

Нам подходит значение P = 10 000 рублей. Соответственно новая цена равна 8000 рублей.

Теперь исследуем функцию (R = -P^2+ 18000P — 50 000 000) на максимум и найдем P, при котором будет достигаться наибольшая прибыль.

Для этого найдем производную функции (R = -P^2+ 18000P — 50 000 000):

P = 9000 — точка максимума данной функции, а значит при цене P = 9000 будет достигаться наибольшая прибыль.

Найдем, на сколько процентов нужно увеличить цену P = 8000, чтобы получить новую цену 9000 рублей. Имеем пропорцию:

То есть для достижения максимальной прибыли нужно увеличить новую цену на 12,5%.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Пусть X (руб.) — взято в кредит в банке. Y (руб.) — первый платеж.

1 месяц (февраль):

1-го февраля долг стал равен ((1+r/100) cdot X).

15 февраля сумма долга (после 1 платежа) будет составлять

$$(1+r/100) cdot X — Y.$$

Так как 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца, то эта сумма равна

$$X — ((1+r/100) cdot X — Y) = Y — rX/100.$$

Кредит был взят на 39 месяцев, а значит после 39 платежей долг будет полностью выплачен.

$$X — 39 cdot (Y — rX/100) = 0,$$

Теперь найдем общую сумму погашения кредита.

Так как долг 15-го числа каждого месяца уменьшаеся на на одну и ту же сумму по сравнению с 15 числом предыдущего месяца, то и платеж каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину.

1 марта сумма долга станет равна

$$(1+r/100) cdot ((1+r/100) cdot X — Y) = (1+r/100) cdot ((X+rX/100 — X/39 — rX/100) = $$

15 марта сумма долга будет составлять :

$$(1+r/100) cdot X — Y — (Y — rX/100) = X-2Y+2rX/100 = $$

$$ = X — 2X/39-2rX/100+2rX/100 = 37X/39.$$

Значит, второй платеж равен

$$(1+r/100) cdot 38X/39 -37X/39 = X/39 + 38rX/3900. $$

Разница между платежами составляет:

$$Y — (X/39 + 38rX/3900) = X/39+rX/100 — X/39 — 38rX/3900 = $$

$$ = rX/100 cdot (1-38/39) = rX/3900.$$

Суммы платежей представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, где первый член равен Y или X/39+rX/100, а разность прогрессии равна rX/3900.

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит, то есть общая сумма платежей равна 1,2X.

Найдем сумму всех 39 платежей по формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$$ 39 cdot (2X/39+2rX/100-38rX/3900) = 2,4X.$$

Сократим все уравнение на X:

$$39 cdot (2/39 + 2r/100 -38r/3900) = 2,4,$$

То есть искомое значение r = 1%.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны (0,5х^2+2x+6) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит (px-(0,5x^2+2x+6)). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

За 3 года прибыль составит:

Нужно найти наименьшее значение p, при котором выполнится неравенство:

$$3 cdot (px-(0,5x^2+2x+6)) ge 78,$$

Так как нужно найти наименьшее значение p, то нужно исследовать функцию (0,5x+2+32/x) на минимум. Для этого найдем ее производную:

x = 8 — точка минимума, поэтому минимальное значение p равно:

$$p = 0,5 cdot 8 + 2 + 32/8 = 4+2+4 = 10. $$

http://mathexam.ru/c19/c19_5.html

ЕГЭ-2016 ФИПИ, вариант 4, задача №17 на проценты.

Задача. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Решение. Пусть планируется взять кредит на n лет. Разберемся, как же будет происходить погашение суммы в 16 млн рублей с процентной ставкой 25% годовых. Делим 16 млн рублей на n и получаем ежегодную сумму платежа без процентов, которую обозначим через х, т.е. х = 16/n , а 16 = xn. Проценты начисляют на остаток долга. Таким образом, в июле (когда и дали эти 16 млн рублей) сумма долга составляла xn рублей, а в январе насчитали на эту сумму 25%, и нужно выплатить, помимо основного ежегодного платежа (х млн рублей) еще и проценты. Это 0,25 xn млн рублей за первый год. Далее в июле выплачиваем х млн рублей, и основной долг составит xn-х, т.е х(n-1). В январе на эту сумму будет насчитано 25%, и это 0,25х(n-1) млн рублей процентов за второй год. За третий год после выплаты х млн рублей будет насчитано 0,25х(n-2) млн рублей процентов. За четвертый год после выплаты х млн рублей будет насчитано 0,25х(n-3) млн рублей процентов. Смотрите таблицу.

Читайте так же:  Как учитываются проценты по кредитам

Далее суммируются все проценты с остатка основного долга, делятся на n — количество лет займа. Получается сумма p, которую добавляют к ежегодной выплате х млн рублей, и клиент ежегодно выплачивает равными долями по (x+p) млн рублей. Но это в данной задаче нас не будет интересовать, хотя… задумайтесь: банковские клерки любят говорить, что проценты начисляются на остаток займа, но умалчивают о том, что засчитывают в качестве ежегодной выплаты сумму х, а не сумму (x+p), после выплаты которой остаток был бы меньше, значит, и процентов набежало бы меньше… понимаете? А что вы должны понять? То, что фактически вы выплачиваете банку не 25% годовых, а гораздо больше. Может быть, вам и дают такие задачи, чтобы вы решили для себя, лезть вам в будущем в петлю займов-кредитов или жить по средствам.

Вернемся к задаче. По условию взяли 16 млн рублей, а через n лет вернули 38 млн рублей, значит, набежало 22 млн рублей процентов. Подсчитаем количество процентов (с остатков основного долга):

0,25xn+0,25x(n-1)+0,25x(n-2)+0,25x(n-3)+0,25x(n-4)+…+0,253x+0,252x+0,25x.

Вынесем 0,25х за скобки.

0,25х(n+ (n-1)+ (n-2)+ (n-3)+ (n-4)+…+3+2+1). В скобках мы имеем сумму арифметической прогрессии, которую вычислим по формуле:

Это сумма процентов за все время кредита.

По условию значение этой дроби равно 22. Решим уравнение:

Умножим обе части равенства на 2, получаем 0,25x(n+1)n=44.

4(n+1) = 44 → n+1 = 11 → n = 10.

Ответ: кредит планируется взять на 10 лет.


http://oge-ege.info/ege-2016/ege-2016-fipi-variant-4-zadacha-17-na-protsenty.html

На сколько лет планируется взять кредит

Задание 17. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Взятый в первый год кредит в сумме 16 млн рублей, на следующий год сначала увеличивается на 25%, т.е. становится равный

млн рублей, а затем, идет погашение таким образом, чтобы выплаты были равными каждый год. Предположим, что долг выплачивается лет, тогда после первого года выплата составит и сумма долга будет равна

млн рублей.

После второго года следует сделать выплату в размере

и сумма долга будет равна

.

Таким образом, после

лет сумма долга будет равна

,

а размер выплат составит

,

так как по условию задачи общая сумма выплат составила 38 млн рублей. Учитывая, что

,

http://self-edu.ru/ege2016_36.php?id=4_17

На сколько лет планируется взять кредит

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 17,5 млн рублей?

Долг уменьшается каждый июль равномерно:

В январе долг возрастает на 20%, значит, долг в январе:

Приведем другое решение.

По формуле для переплаты П при выплате суммы кредита S = 7 млн рублей дифференцированными платежами имеем:

где n — искомое число лет, а r = 20 — величина платежной ставки в процентах (см. Гущин Д. Д. «Встречи с финансовой математикой»; для получения полного балла доказательство этих формул необходимо приводить на экзамене). По условию, переплата П равна

млн рублей

http://ege.sdamgia.ru/problem?id=526539

На сколько лет планируется взять кредит

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?

Так как мы ищем минимальный срок кредита, то первый платеж должен быть максимальным, т.е. составлять 1,8 млн. рублей.

В январе сумма долга станет равной 1,2 * 6 = 7,2 млн. руб.

После 1 платежа сумма долга будет равна 7,2 — 1,8 = 5,4 млн. руб.

6 — 5,4 = 0,6 — разница между долгом в июле одного года и в июле следующего года.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то каждый год долг в июле должен быть на 0,6 млн руб. меньше, чем в июле предыдущего года.

В таком случае пусть осталось выплатить n платежей. Тогда

Учитывая, что 1 платеж уже был сделан, то минимальный срок крелита составит 10 лет.

Заметим, что все ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Действительно, на 2 год в январе месяце долг составит 5,4*1,2 = 6,48. После выплаты он должен отличаться от предыдущей суммы долга в июле на 0,6 млн. руб., значит, сумма долга в июле составит 5,4 — 0,6 = 4,8 млн. руб, а выплата за 2 год равна 6,48 — 4,8 = 1,68 млн. руб, что меньше, чем 1,8 млн. руб.

Читайте так же:  Кредит под залог недвижимости каскелен

На (n+1)-ый год в июле месяце долг составит 6-0,6n.

Долг на январь месяц будет составлять (6-0,6(n-1))*1,2

Сумма выплаты за n год равна (6-0,6(n-1))*1,2 — (6-0,6n) = 1,92 — 0,12n.

Получаем, что при n>1 ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Видео (кликните для воспроизведения).

Окончательно получаем, что кредит будет выплачен за 10 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

В январе сумма долга составит 10*1,1 = 11 млн. руб.

Пусть 1 платеж составил X млн. руб. Тогда после 1 платежа долг составит (11-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то разница между долгом каждый год будет равна

10 — (11-X) = (X — 1) млн. руб.

Осталось выплатить долг еще за 4 года. Через 4 года долг в июле месяце будет равен

Так как кредит был погашен за 5 лет, то последний долг равен 0, т.е. получаем уравнение:

То есть 1-ый платеж составил 3 млн. руб.

После этого долг в июле составил 11-3 = 8 млн. руб.

Во 2 год в январе долг составит уже 1,1*8 = 8,8 млн. руб. И так как разница между долгом каждый год в июле равна 3 — 1 = 2 млн. руб., то на июль 2-го года долг составит 8 — 2 = 6 млн. руб. Значит, 2 платеж был равен 8,8 — 6 = 2,8 млн. руб.

В 3 год в январе долг равен 1,1*6 = 6,6 млн. руб. На июль 3-го года долг будет равен 6 — 2 = 4 млн. руб., значит, 3 платеж равен 6,6 — 4 = 2,6 млн. руб.

В 4 год в январе долг равен 4*1,1 = 4,4 млн. руб. На июль 4 года долг составит 4 — 2 = 2 млн. руб. И 4-ый платеж был равен 4,4 — 2 = 2,4 млн. руб.

На январь 5-го года долг составит 2*1,1 = 2,2 млн. руб. И так как кредит был полностью погашен за 5 лет, то это будет последний платеж и он будет равен сумме долга, т.е. 2,2 млн. руб.

Итого общая сумма платежей за 5 лет составила: 3+2,8+2,6+2,4+2,2 = 13 млн. руб.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?

В январе долг стал равен 20*1,3 = 26 млн. руб.

Пусть X (млн. руб.) — составил 1 платеж.

Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (26-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 20 — (26-X) = (X-6) млн. руб.

Пусть кредит был взят на n лет.

Тогда в n-ый год в январе долг будет равен

((20 — (n-1)cdot(X-6))cdot1,3 ) млн. руб.

В июле n-го года долг равен 20-n(X-6).

А выплату в n году можно посчитать по формуле:

В 1 год платеж был равен X млн. руб.

((20 — X+6)cdot 1,3 — 20 + 2X-12 = 33,8 — 1,3X — 32+2X = 1,8+0,7X.)

((20 — 2X+12)cdot 1,3 — 20+3 cdot(X-6) = 41,6-2,6X — 20+3X-18 = 3,6+0,4X.)

Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна 1,8-0,3X, а первый член прогрессии равен X.

Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравение:

Откуда получаем, что

Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):

$$20cdot (2X(X-6)+(1,8-0,3X)cdot 20 -(1,8-0,3X)cdot (X-6)) = 94 cdot (X-6)^2, $$

$$10cdot(2x^2 — 12X+36-6X-1,8X+10,8+0,3X^2-1,8X) = 47 cdot (X^2 — 12X+36),$$

$$10 cdot (2,3X^2-21,6X+46,8) = 47 cdot (X^2 — 12X+36), $$

$$23X^2-216X+468 = 47 X^2 — 564 X+1692, $$

Пусть X = 8,5. Тогда n = 20/2,5 = 8.

Если X = 6, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0.

Получаем, что кредит был взят на 8 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти х, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей.

В январе сумма долга составит ((1+x/100)cdot 6).

Пусть первый платеж равен Y, тогда в июле останется сумма долга, равная

При этом в июле каждого года долг будет уменьшаться на одну и ту же величину, равную

Читайте так же:  Процент кредита на покупку квартиры

$$6 — ((1+x/100)cdot 6 — Y) = Y — 6x/100. $$

Так как кредит будет полностью выплачен за 15 лет, то получаем уравнение:

$$6 — 15 cdot (Y-6x/100) = 0,$$

Тогда в июле каждого года долг будет уменьшаться на величину, равную

$$Y — 6x/100 = 0,06X+0,4 -0,06X = 0,4. $$

И в июле сумма долга будет равна 6 — 0,4 = 5,6 млн. руб.

В январе сумма долга составит

В июле долг уменьшится на 0,4 млн. руб. по сравнению с июлем предыдущего года и станет равным 5,6 — 0,4 = 5,2.

Тогда платеж за 2 год составит

$$5,6 cdot (1+frac) — 5,2 = 0,056x+0,4.$$

Каждый год платеж уменьшается на одну и ту же сумму, а именно на

$$0,06X+0,4 — (0,056x+0,4) = 0,004x.$$

Поэтому последний 15 платеж будет равен

$$0,06X+0,4 — 14 cdot 0,004x = 0,004x+0,4.$$

Нам известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей, поэтому получаем условия:

Откуда получаем, что искомая величина x = 25.

http://mathexam.ru/c19/c19_4.html

На сколько лет планируется взять кредит

Задание 17. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 928 200 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Пусть x рублей требуется платить каждый год для погашения кредита. Тогда, в первый год изначальная сумма 928200 рублей увеличивается в 1,1 раза (на 10%), а затем, уменьшается на величину x:

рублей.

Во второй год выполняется та же процедура:

.

Соответственно, для третьего и четвертого годов, имеем:

Равенство нулю означает, что за 4 года кредит был полностью погашен. Найдем сумму платежа, получим:

и банку за 4 года было выплачено

рублей.

http://self-edu.ru/ege2018_36.php?id=5_17

Профильный ЕГЭ по математике. Задание № 17. Кредиты. Схема 2: известна информация об изменении суммы долга.

Задачи ЕГЭ №17 на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.

1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет»

2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами».

К первому типу относятся также задачи, в которых есть информация о платежах.

Ко второму типу — задачи, в которых есть информация об изменении суммы долга.

В этой статье — решение задач на кредиты второго типа. Схема 2: с дифференцированными платежами. В условии есть информация об изменении суммы долга.

Если в условии задачи сказано, что сумма долга уменьшается равномерно, или что 15-го числа каждого месяца сумма долга на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца, или есть информация о том, как именно уменьшается сумма долга, — это задача на кредиты второго типа.

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Ключевая фраза в условии: «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца». Другими словами, сумма долга уменьшается равномерно. Что это значит?

Если вначале сумма долга равна S, то через месяц (после начисления процентов и первой выплаты) она уменьшилась до .Еще через месяц будет ,затем — и так до нуля.

Нарисуем схему погашения кредита.

Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.

Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов n = 19.

Вот клиент берет в кредит сумму . После начисления процентов сумма долга увеличилась в раз и стала равна . После первой выплаты сумма долга уменьшилась на и стала равной . Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна . Таким образом, первая выплата

Сумма всех выплат:

Мы сгруппировали слагаемые и вынесли общие множители за скобку. Видим, что и в первой, и во второй скобке — суммы арифметической прогрессии, у которой и

В первой скобке — сумма 19 слагаемых, во второй сумма 18 слагаемых.

По формуле сумма арифметической прогрессии,

Получим, что общая сумма выплат , где — величина переплаты. Эта величина показывает, на сколько общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит.

Здесь — количество платежных периодов.

Обратите внимание. Общая сумма выплат:

, где — величина переплаты,

В следующих задачах мы будем (если это возможно) применять удобную формулу для переплаты без вывода. Однако на экзамене вам надо будет ее вывести. Иначе решение могут не засчитать.

2. 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на больше суммы, взятой в кредит.

Читайте так же:  Кредит в центробанке для физических лиц

По формуле для переплаты при выплате суммы кредита дифференцированными платежами имеем:

где — искомое число месяцев, а — величина платежной ставки в процентах. По условию, переплата равна , тогда:

3. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата 15,01 15,02 15,03 15,04 15,05 15,06 15,07
Долг (в процентах от кредита) 100% 90% 80% 70% 60% 50% 0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на , а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

В этой задаче (как и в большинстве задач ЕГЭ) мы не сможем применить формулу для величины переплаты. Ведь погашение кредита происходит неравномерно. Первые 5 месяцев долг ежемесячно уменьшается на своей величины, а в последний месяц сразу до нуля.

Запишем, чему равна каждая выплата, и найдем сумму всех выплат.

Общая сумма выплат

— переплаты, — общая сумма выплат, — сумма кредита.

4. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6,6 млн. руб. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года.

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн. руб.

— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн. рублей.

— ежегодные выплаты 2020 и 2021 годов.

В 2018 году появились, пожалуй, самая сложная задачи ЕГЭ такого типа. Вот большая статья о том, что же все-таки было на ЕГЭ-2018:

Подведем итоги. Соберем всё, что узнали о решении задач на кредиты по второй схеме (с дифференцированными платежами) в небольшую таблицу:

Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами). Применяется также, когда известно, как уменьшается сумма долга.
Пусть – сумма кредита, – количество платежных периодов,
– процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Схема погашения кредита для платежных периодов.

– число платежных периодов.

Сумма всех выплат:

Применяем формулу суммы арифметической прогрессии. Общая сумма выплат:

http://ege-study.ru/zadacha-17-profilnogo-ege-po-matematike-kredity-sxema-2-izvestna-informaciya-ob-izmenenii-summy-dolga/

На сколько лет планируется взять кредит

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Приведём авторское решение.

Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:

По условию, каждый январь долг возрастает на 20%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:

Всего следует выплатить

(млн рублей).

Общая сумма выплат равна 7,5 млн рублей, поэтому

http://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=517517

На сколько лет планируется взять кредит

Задание 17. 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Пусть сумма кредита равна S, а кредит планируется взять на n месяцев. По условию, долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно:

Первого числа каждого месяца долг возрастает на 1%, значит, последовательность размеров долга на 1-е число каждого месяца такова:

Следовательно, выплаты должны быть следующими:

Всего следует выплатить

Общая сумма выплат на 20 % больше суммы, взятой в кредит, поэтому

http://self-edu.ru/ege2020_36.php?id=1_17

На сколько лет планируется взять кредит

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Пусть кредит взят на n лет. Обозначим сумму кредита S = 16 млн руб, а процентную ставку —

В соответствии с условием задачи заполним таблицу:

Год Долг в июле
до начисления процентов
Долг в январе
после начисления процентов
Выплата

S

Суммируем все выплаты:

Подставив численные значения, найдём n:

Аналоги к заданию № 517569: 526539 517517 521918 526343 Все

Видео (кликните для воспроизведения).

http://ege.sdamgia.ru/test?pid=526343

На сколько лет планируется взять кредит
Оценка 5 проголосовавших: 1

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here